Fabrication de jouets

Une société fabrique de nouveaux modèles de poupées haute couture pour les grandes marques de luxe. Le coût total de production hebdomadaire est modélisée par la fonction `C` telle que : \(C(x) = 0{,}5x^2+50x+100\) définie sur \([5\,;100]\) avec `x` le nombre de poupées fabriquées.

Problématique : quelle quantité de poupées la société doit-elle produire pour obtenir un coût moyen hebdomadaire minimum ?

1. À quoi correspond `x` ? À quoi correspond `C(x)` ?

2. Calculer le coût de production pour 5 poupées fabriquées.

3. Interpréter le résultat obtenu.

4. Le coût moyen `C_M` correspond au coût unitaire du produit fabriqué et il est calculé en divisant le coût de production `C` par le nombre de produits fabriqués `x`.

\(C_M(x)= \frac{C(x)}{x}\) avec `x` non nul.

Montrer que \(C_M(x)= 0{,}5x + 50 + \frac{100}{x}\).

5. On admet que \(C_M(x)= 0{,}5x + 50 + \frac{100}{x}\) .

Calculer la dérivée de \(C_M\).

6. a. Tracer la courbe de la fonction `C_M(x)` à l'aide de l'outil GeoGebra ci-dessous.

Coup de pouce 1 : une perle est là pour vous aider à tracer une fonction sur un intervalle bien défini avec GeoGebra.

b. Résoudre graphiquement l'équation \(C'_M(x) = 0\) (arrondir la solution à l'unité).

Coup de pouce 2 : une perle est là pour vous aider si besoin !

c. Dresser le tableau de signes de \(C_M'\). Pour répondre à cette question, appuyez-vous sur la représentation graphique de la fonction dérivée.

Coup de pouce 3 : une perle est là pour vous aider à dresser un tableau de signes à partir d'une représentation graphique sur GeoGebra.

d. En déduire les variations de \(C_M\).

7. La fonction \(C_M\) admet-elle un maximum ou un minimum ? Préciser sa valeur.

8. En déduire le coût moyen minimum.

9. Répondre à la problématique.